若2sin（π4+α）=sin θ+cos θ，2sin2β=sin 2θ，求证：sin 2α+1/2cos 2β=0．

题目

若2sin（

π

4

+α）=sin θ+cos θ，2sin²β=sin 2θ，求证：sin 2α+

1

2

cos 2β=0．

答案

证明：由2sin（

π

4

+α）=sinθ+cosθ得

2

cosα+

2

sinα=sinθ+cosθ，
两边平方得，2（1+sin2α）=1+sin2θ，
即sin2α=

1

2

（sin2θ-1）①，
由2sin²β=sin2θ得，1-cos2β=sin2θ②，
将②代入①得：sin2α=

1

2

[（1-cos2β）-1]得sin2α=-

1

2

cos2β，
即sin2α+

1

2

cos2β=0．

运用两角和的正弦公式和平方法，可得sin2α=

1

2

（sin2θ-1）①，再由二倍角的余弦公式，可得1-cos2β=sin2θ②，将②代入①即可得证．

本题考点：A:二倍角的余弦 B:二倍角的正弦

考点点评：本题考查两角和的正弦公式和二倍角公式的运用，考查平方法和运算能力，属于基础题．