判断函数的奇偶性,并说明理由

题目

判断函数的奇偶性,并说明理由
设函数f（x）对任意实数a,b都有f（a）+f（b）=2f((a+b)/2)f((a-b)/2),且f(0)≠0,试判断f(x)的奇偶性,并说明理由
对是对，可拿到这种问题完全没头绪，可不可以说一下，是怎么想到这种方法的？以后他稍微变一变我还是做不来

答案

令a=b=0得2f（0）=2f（0）*f（0）{两边消}因为f（0）≠0.
故f（0）=1
令a=-b代入f（a）+f（b)=2f[(a+b)/2]*f[(a-b)/2],得
f（a）+f（-a）=2f（0）*f[(a-（-a）)/2],
即
f（a）+f（-a）=2f（0）*f（a）=2f（a）
即f（a）+f（-a）=2f（a）
f（a）=f（-a）,
因为定义域为任意数
故该f（x）为偶函数