已知在数列An中,A1=1,A(n+1)=An/2An+1.求数列An的通项公式.若2/Bn=(1/An)+1,Pn=(1+B1)(1+B3)...(1+B2n-1),求证：Pn>根号2n+1

题目

已知在数列An中,A1=1,A(n+1)=An/2An+1.求数列An的通项公式.若2/Bn=(1/An)+1,Pn=(1+B1)(1+B3)...(1+B2n-1),求证：Pn>根号2n+1

答案

对式子变形则 1/A(n+1)=2+ 1/An * 令Cn= 1/An 易得Cn为等差数列,C1=1
即 Cn=2n-1 → An=1/(2n-1)
易得Bn=1/n 对Pn 每一项因子通分,观察,不妨另设Tn==(1+B2)(1+B4)...(1+B2n) **
易有Pn>Tn,则Pn=√Pn^2 >√PnTn =√2n+1 得证
* 此为求An通项的常用处理,即两边求倒数.
** 也可用基本不等式的方法处理,不必另外构造数列,楼主可以自己尝试.