已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a•b在区间(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为_.
题目
已知向量
=(x
2,x+1),
=(1-x,t),若函数f(x)=
•
在区间(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为______.
答案
∵
=(x
2,x+1),
=(1-x,t),
∴f(x)=
•
=x
2(1-x)+t(x+1)=-x
3+x
2+tx+1,
∴f′(x)=-3x
2+2x+t,
∵函数f(x)=
•
在区间(-1,1)上是增函数,
∴f′(x)=-3x
2+2x+t≥0在(-1,1)上恒成立,
∴t≥3x
2-2x在(-1,1)上恒成立,
而函数y=3x
2-2x,x∈(-1,1)的值域为[
−,5)
∴t≥5
故答案为:t≥5
由数量积可得f(x),求导数可化问题为t≥3x2-2x在(-1,1)上恒成立,由二次函数的知识可得函数的值域,可得结论.
平面向量数量积的运算;函数单调性的性质.
本题考查平面向量数量积和函数的单调性,涉及导数和恒成立问题,属中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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