将n只球放入m只盒中,设每只球落入各个盒中是等可能的,求有球的盒子数x的数学期望?

题目

将n只球放入m只盒中,设每只球落入各个盒中是等可能的,求有球的盒子数x的数学期望?

答案

首先,有m>=x,n>=x,x>=1,否则期望为0；
样本点总数：m^n (这表示m的n次方)
有效样本点数：P(x,x) * C(m,x) * (x ^ (n - x))
其中：
P(x,x)是x的全排列,也就是(x!)；
C(m,x)是 从m个盒子里取x个盒子的取法
C(m,x) = (m !) / (x!* (m - x)!)；
大家都知道期望 = 有效样本点数 / 样本点总数
因此 结果 = P(x,x) * C(m,x) * (x ^ (n - x)) / m ^ n
因为每放入一个球都有m种选择,根据乘法原则,样本点总数为m ^ n.
而有效的样本点数,一定是有而且只x个盒子里有球,因此,首先选出x个盒子,即C(m,x),然后,这x个盒子里都至少有一个球,这x个球按什么顺序都行,因此有P(x,x)种可能,最后还剩了(m - x)个球,这些球可以在这x个盒子里随便放,因此有(x ^ (n - x))中可能.