已知非零向量a,b互相垂直,向量b的模长为1,则满足a+mb与a+(1-m)b垂直的所有实数m的和为

题目

已知非零向量a,b互相垂直,向量b的模长为1,则满足a+mb与a+(1-m)b垂直的所有实数m的和为

答案

∵向量a,b互相垂直
∴a●b=0
∵a+mb与a+(1-m)b垂直
∴(a+mb)●[a+(1-m)b]=0
即|a|²+m(1-m)|b|²+a●b=0
∵|b|=1,a●b=0
∴|a|²+m(1-m)=0
∴|a|²-m²+m=0
即m²-m-|a|²=0
这是关于m的一元二次方程,判别式Δ=1+4|a|²>0
∴m一定有2个不同的解（值）m1、m2
根据韦达定理得两个根之和为
m1+m2=1
即所有实数m的和为1.