如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(  ) A.125 B.65 C.245 D.不确定

如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(  ) A.125 B.65 C.245 D.不确定

题目
如图,点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点,矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(  )
作业帮A.
12
5

B.
6
5

C.
24
5

D. 不确定
答案
法1:过P点作PE⊥AC,PF⊥BD
∵矩形ABCD作业帮
∴AD⊥CD
∴△PEA∽△CDA
PE
CD
=
PA
CA

∵AC=BD=
32+42
=5
PE
3
=
PA
5
…①
同理:△PFD∽△BAD
PF
AB
=
PD
BD

PF
3
=
PD
5
…②
∴①+②得:
PE+PF
3
=
PA+PD
5
=
AD
5
=
4
5

∴PE+PF=
12
5

即点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是
12
5

法2:作业帮连结OP.
∵AD=4,CD=3,
∴AC=
32+42
=5,
又∵矩形的对角线相等且互相平分,
∴AO=OD=2.5cm,
∴S△APO+S△POD=
1
2
×2.5•PE+
1
2
×2.5•PF=
1
2
×2.5(PE+PF)=
1
4
×3×4,
∴PE+PF=
12
5

故选:A.
过P点作PE⊥AC,PF⊥BD,由矩形的性质可证△PEA∽△CDA和△PFD∽△BAD,根据
PE
CD
PA
CA
PF
AB
PD
BD
,即
PE
3
PA
5
PF
3
PD
5
,两式相加得PE+PF=
12
5
,即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和.

矩形的性质;相似三角形的判定与性质.

根据矩形的性质,结合相似三角形求解.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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