老师,您在回答别人问题的过程中用了这样一个条件:矩阵A²=A,则A的特征值只能是0或1,这是怎么得来的?是不是任何一个方阵都存在特征值?特征值只可能是0或1的矩阵A与单位矩阵的和为什么一定可

题目

老师,您在回答别人问题的过程中用了这样一个条件:矩阵A²=A,则A的特征值只能是0或1,这是怎么得来的?是不是任何一个方阵都存在特征值?特征值只可能是0或1的矩阵A与单位矩阵的和为什么一定可逆?

答案

设 a 是A 的特征值
则 a^2-a 是 A^2-A 的特征值 (这是定理)
而 A^2-A=0, 零矩阵的特征值只能是0
所以 a^2-a = 0
所以 a = 0 or a=1.
即 A 的特征值只能是1或0.
任何一个方阵必有特征值
此时 A+E 的特征值 是 A 的特征值 加1
所以 A+E 无0特征值, 故可逆