如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D． （1）求证：AE=CD； （2）若BD=5cm，求AC的长．

题目

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC的中线，过点C作CF⊥AE于F，过B作BD⊥CB交CF的延长线于点D．

（1）求证：AE=CD；
（2）若BD=5cm，求AC的长．

答案

（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
在△DBC和△ECA中，

∠D＝∠AEC ∠ACE＝∠CBD AC＝CB

∴△DBC≌△ECA（AAS），
∴AE=CD；
（2）∵△DBC≌△ECA，
∴BD=CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BC=2CE=2BD=10cm，
∴AC=BC=10cm．

（1）先证出∠D=∠AEC，再利用AAS证出△DBC≌△ECA，即可得出AE=CD；
（2）先根据△DBC≌△ECA，得出BD=CE，再根据AE是BC边上的中线，得出BC，最后根据AC=BC即可得出答案．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了全等三角形的性质与判定，用到的知识点是三角形的中线、全等三角形的判定与性质、余角的性质，关键是在较复杂的图形中找出全等的三角形，利用AAS证出△DBC≌△ECA．