要做一个无盖的圆柱形容器,它的净容积为8兀,壁厚为常数a,当容器内壁半径为多少时,才能使所用的材料最省?

题目

要做一个无盖的圆柱形容器,它的净容积为8兀,壁厚为常数a,当容器内壁半径为多少时,才能使所用的材料最省?

答案

设内壁半径为X,所以内面积为兀（X＾2）,高就为8兀/（兀X＾2）＝
8/（X＾2）,内壁表面积就为2兀X×8/（X＾2）=16兀/X
所以壁厚为16兀A/X,底壁厚A兀（X＾2）
因为要使材料最省,所以可以把最底边的一圈挖去
所以得
Y=16兀A/X+ A兀（X＾2）
Y′= —16兀A/（X＾2）+2AX兀
Y′=0 →—16兀A/（X＾2）+2AX兀=0
∴16兀A/（X＾2）=2AX兀
∴8/（X＾2）=X
∴X＾3=8
∴X=2
∴所以当内壁半径为2时,材料最省
由于求导的表格太难弄了,相信你也应该知道为什么是Y′=0时把