已知点A（2,根号3）,F是椭圆x^2/16+y^2/12=1左焦点,一动点M在椭圆上移动,求AM+2MF最小值和M坐标

题目

已知点A（2,根号3）,F是椭圆x^2/16+y^2/12=1左焦点,一动点M在椭圆上移动,求AM+2MF最小值和M坐标

答案

a=4,c=2,e=1/2.
设椭圆的左准线为L,（其方程为 x=-a^2/c=-8）.
过M作MN丄L于N,则由椭圆第二定义知,MF/MN=e=1/2,所以MN=2MF
则AM+MF=AM+MN
由图知,当A、M、N在同一直线时,上式和最小.是:2-(-8)=10.
此时,M纵坐标=√3,代入椭圆方程可得 横坐标为 -2√3.
所以M（-2√3,√3）.