曲线y=y(x)满足y²y'+1=0,通过点(0,1/2),并且在该点的切线斜率为2,求曲线方程具体过程

题目

曲线y=y(x)满足y²y''+1=0,通过点(0,1/2),并且在该点的切线斜率为2,求曲线方程具体过程

答案

令p=y', 则y"=pdp/dy
代入方程： y²pdp/dy+1=0
pdp=-dy/y²
积分: p^2/2=1/y+C1
因为y(0)=1/2, y'(0)=2,代入上式得：4/2=2+C1,得：C1=0
即p^2=2/y
即p=±√2/√y
√ydy=±√2dx
积分：2/3*y^(3/2)=±2/3* x^(3/2)+C2
代入y(0)=1/2,得： C2=1/3
因此解为： 2y^(3/2)=±2x^(3/2)+1