如图所示,在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,EF垂直CD于F,EG垂直AD于G,求证:BE=FG.

如图所示,在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,EF垂直CD于F,EG垂直AD于G,求证:BE=FG.

题目
如图所示,在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,EF垂直CD于F,EG垂直AD于G,求证:BE=FG.
答案
证明:如图,连接DE,
在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAC=∠DAC,
∵在△ABE和△ADE中,
AB=AD
∠BAC=∠DAC
AE=AE

∴△ABE≌△ADE(SAS),
∴BE=DE,
∵EF⊥CD于F,EG⊥AD于G,∠ADC=90°,
∴四边形EFDG是矩形,
∴DE=FG,
∴BE=FG.
连接DE,根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,对角线平分一组对角可得∠BAC=∠DAC,然后利用“边角边”证明△ABE和△ADE全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=DE,再证明四边形EFDG是矩形,根据矩形的对角线相等可得DE=FG,从而得证.

正方形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的判定与性质.

本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,矩形的对角相等的性质,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键,正方形的问题,往往都是通过作辅助线构造出全等三角形求解,要熟练掌握并灵活运用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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