如图 AB为圆O的直径 CD是圆O的切线 C是切点 AD垂直于CD AD的延长线与BC延长线相交于点E 求证AE=AB

题目

如图 AB为圆O的直径 CD是圆O的切线 C是切点 AD垂直于CD AD的延长线与BC延长线相交于点E 求证AE=AB

答案

（1）AC是∠BAD的平分线时,AD⊥CD,
证明：连接BC,
则∠ACB=90°,即∠B+∠BAC=90°,
∵CD是圆O的切线,
∴∠ACD=∠B,
∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠CAD,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
即∠D=90°,AD⊥CD；
（2）由（1）可知：∠BAC=∠CAD,
∵∠ACB=∠D=90°,
∴△ABC∽△ACD,
∴AD：AC=AC：AB,
∴AC2=AD•AB=20；
解得AC=2 ,
直角三角形ACD中,
根据勾股定理可得CD=2,
根据CD是圆的切线可得：CD2=AD•DE,即DE=CD2÷AD=4÷4=1．所以AB=AE