已知函数f(x)=ex-ln(x+m) (Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.

已知函数f(x)=ex-ln(x+m) (Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.

题目
已知函数f(x)=ex-ln(x+m)
(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.
答案
(Ⅰ)∵f(x)=ex
1
x+m
,x=0是f(x)的极值点,∴f(0)=1−
1
m
=0
,解得m=1.
所以函数f(x)=ex-ln(x+1),其定义域为(-1,+∞).
f(x)=ex
1
x+1
ex(x+1)−1
x+1

设g(x)=ex(x+1)-1,则g′(x)=ex(x+1)+ex>0,所以g(x)在(-1,+∞)上为增函数,
又∵g(0)=0,所以当x>0时,g(x)>0,即f′(x)>0;当-1<x<0时,g(x)<0,f′(x)<0.
所以f(x)在(-1,0)上为减函数;在(0,+∞)上为增函数;
(Ⅱ)证明:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时f(x)>0.
当m=2时,函数f(x)=ex
1
x+2
在(-2,+∞)上为增函数,且f′(-1)<0,f′(0)>0.
故f′(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实数根x0,且x0∈(-1,0).
当x∈(-2,x0)时,f′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,
从而当x=x0时,f(x)取得最小值.
由f′(x0)=0,得ex0
1
x0+2
,ln(x0+2)=-x0
故f(x)≥f(x0)=
1
x0+2
+x0
=
(x0+1)2
x0+2
>0.
综上,当m≤2时,f(x)>0.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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