在△ABC中,边a,b,c分别为角A,B,C的对边,若m=(sin2B+C/2,1),n=(cos2A+7/2,4)且m∥n.(1)求角A的度数;(2)若a=3,b+c=3,求△ABC的面积S.

在△ABC中,边a,b,c分别为角A,B,C的对边,若m=(sin2B+C/2,1),n=(cos2A+7/2,4)且m∥n.(1)求角A的度数;(2)若a=3,b+c=3,求△ABC的面积S.

题目
在△ABC中,边a,b,c分别为角A,B,C的对边,若
m
=(sin2
B+C
2
,1)
n
=(cos2A+
7
2
,4)
m
n

(1)求角A的度数;
(2)若a=
3
,b+c=3
,求△ABC的面积S.
答案
(1)∵
m
n

sin2
B+C
2
1
=
cos2A+
7
2
4

cos2A+
7
2
=4sin2
π-A
2
2cos2A-1+
7
2
=4cos2
A
2
2cos2A+
5
2
=2(2cos2
A
2
-1)+2=2cosA+2
2cos2A-2cosA+
1
2
=0

(2cosA-1)2=0
cosA=
1
2

又∵A为三角形内角
∴A=60°.
(2)cosA=
b2+c2-a2
2bc
⇒bc=2

S△ABC=
1
2
•sinA•bc=
1
2
×
3
2
×2=
3
2
(1)∵
m
=(sin2
B+C
2
,1)
n
=(cos2A+
7
2
,4)
m
n
.
∴可根据平面向量平行的坐标运算公式,构造出关于角A的方程.解方程求出A值.
(2)由(1)的结论,及a=
3
,b+c=3
,根据余弦定理,可以求出bc值,再利用三角形面积公式,即可求解.

平行向量与共线向量;余弦定理的应用.

如果已知的两个向量

a
b
平行,由于两个向量的坐标形式已经给出,如
a
=(x1,y1),
b
=(x2,y2),则可根据平面向量平行的坐标运算构造方程x1y2-x2y1=0,然后解方程即可可求出未知数x的值.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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