高中数学题,和椭圆有关
题目
高中数学题,和椭圆有关
已知椭圆的中心点在原点o,焦点在X轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线L,交椭圆于A,B两点.若椭圆上存在一点C,使四边形OACB为平行四边形.
(1)求椭圆的离心率.
(2)若△OAC的面积为15倍根号5,求这个椭圆的方程
哪位高手能做一下,希望有详细解题思路,谢
答案
⑴设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
设C(acosθ,bsinθ),则OC中点M为(0.5acosθ,0.5bsinθ)
设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),直线AB斜率为k代入到椭圆方程中,得:
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减,得:k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(b/a)^2×(x1+x2)/(y1+y2)=1
又M也是AB中点,所以 (x1+x2)/(y1+y2)=0.5acosθ/0.5bsinθ
即bsinθ/acosθ=-(b/a)^2 化简得:
bcosθ+asinθ=0 ……①
同时MF的斜率为1,所以0.5bsinθ/(0.5acosθ-c)=1 化简得:
acosθ-bsinθ=2c ……②
①②式平方相加,得:a^2+b^2=4c^2 ,又a^2-c^2=b^2
∴e=c/a=√10/5
⑵S△OAC=1/2S平行四边形OACB=S△OAB=15√5
利用椭圆焦点弦长公式AB=2ab^2/(a^2-c^2cos^α) α是直线AB的倾斜角
这里,cos^α=1/2 ,所以AB=4ab^2/(2a^2-c^2)
又O到直线AB的距离d=c/√2 且S△OAB=15√5=1/2AB×d
将以上各式代入,化简得:a^2=100,b^2=60
∴椭圆的方程为x^2/100+y^2/60=1
顺便给你证明一边椭圆的焦点弦长公式吧:
设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
过焦点F1的直线AB交椭圆于AB两点,倾斜角为α.
另一个焦点为F2,连接AF2与BF2 设AF1=m,BF1=n
则,根据椭圆定义,AF2=2a-m ,BF2=2a-n
在三角形AF1F2中,由余弦定理得
(2a-m)^2=m^2+(2c)^2-2m(2c)cosα
化简得:m=b^2/(a-c*cosα)
同理,再用一次余弦定理,可得n=b^2/(a+c*cosα)
所以AB=m+n=2ab^2/(a^2-c^2cos^α)
举一反三
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