已知椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P,Q,且向量AP=8/5向量PQ,

题目

已知椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P,Q,且向量AP=8/5向量PQ,
（1）求椭圆C的离心率
若过A,Q,F三点的圆恰好与直线L：x+根号3y+3=0相切,求椭圆C的方程

答案

1,设Q(x0,0),F(-c,0)、A(0,b),FA=(c,b)、AQ=(x0,-b)
因为FA⊥AQ,所以cx0-b^2=0、x0=b^2/c
设P(x1,y1),由定比分点公式得x1=8b^2/13c、y1=5b/13
而P在椭圆上,代入得(8b^2/13c)^2/a^2+(5b/13)^2/b^2=1
整理得2b^2=3ac,而a^2-b^2=c^2、e=c/a
代入可得2e^2+3e-2=(2e-1)(e+2)=0,解得e=1/2.
2,由1得2b^2=3ac、b^2/c=3a/2
因为c/a=1/2,所以c=a/2,于是F(-a/2,0)、Q(3a/2,0)
△AQF的外接圆心为(a/2,0)、半径r=|FQ|/2=a
因为直线与圆相切,|a/2+3|/2=a,结合a>0解得a=2,所以b^2=3
即椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1.