若函数f(x)=1/3x3-x在(a,10-a2)上有最小值,则a的取值范围为 _ .

若函数f(x)=1/3x3-x在(a,10-a2)上有最小值,则a的取值范围为 _ .

题目
若函数f(x)=
1
3
x3-x在(a,10-a2)
上有最小值,则a的取值范围为 ___ .
答案
由已知,f′(x)=x2-1,有x2-1≥0得x≥1或x≤-1,
因此当x∈[1,+∞),(-∞,-1]时f(x)为增函数,在x∈[-1,1]时f(x)为减函数.
又因为函数f(x)=
1
3
x3-x在(a,10-a2)
上有最小值,所以开区间(a,10-a2)须包含x=1,
所以函数f(x)的最小值即为函数的极小值f(1)=-
2
3

又由f(x)=-
2
3
可得
1
3
x3-x=-
2
3
,于是得(x-1)2(x+2)=0
即有f(-2)=-
2
3
,因此有以下不等式成立:
-2≤a<1
10-a2>1
,可解得-2≤a<1,
答案为:[-2,1)
先求出函数的导函数,求出函数的单调区间,再根据已知在区间(a,10-a2)有最小值确定出参数a的取值范围.

利用导数求闭区间上函数的最值.

本题考查函数的导数,利用导数求函数的极值和最值的问题,分类讨论的思想方法.本题需要注意:在开区间内函数的极小值(本题中也是最小值)在函数导数为零的点处取得,即若x0∈(a,b),且f′(x0)=0,则函数f(x)的极值是f(x0);再由题意可得这个极值也是函数的最值.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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