若直线y=x+b与曲线y=3-4x−x2有公共点，则b的取值范围是_．

题目

若直线y=x+b与曲线y=3-

4x−x2

有公共点，则b的取值范围是______．

答案

如图所示：曲线y=3-

4x−x2

，即 （x-2）²+（y-3）²=4（ 1≤y≤3，0≤x≤4），
表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．
由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得

|2−3+b|

2

=2，∴b=1+2

2

，或b=1-2

2

．
结合图象可得1-2

2

≤b≤3，
故答案为：[1-2

2

，3]．

曲线即 （x-2）²+（y-3）²=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得 b=1+2

2

b=1-2

2

．结合图象可得b的范围．

本题考点：直线与圆的位置关系．

考点点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．