过点P（4，1）作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B，当△AOB（O为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值．

题目

过点P（4，1）作直线l分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A、B，当△AOB（O为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值．

答案

设A（a，0），B（0，b），（a，b＞0），
则直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，
又∵P（4，1）在直线l上，
∴

4

a

+

1

b

=1，…（6分）
又∵1=

4

a

+

1

b

≥2

4 ab

，
∴ab≥16，∴S=

1

2

ab≥8，
等号当且仅当

4

a

=

1

b

=

1

2

，即a=8，b=2时成立，
∴直线l的方程为：x+4y-8=0，S_min=8．         …（12分）

首先，设直线的方程，然后，将P坐标代入，然后，结合基本不等式进行求解．

本题考点：直线的截距式方程．

考点点评：本题主要考查了直线的截距式方程，基本不等式等知识，属于中档题．