已知二次函数f（x）=ax2+（2a-1）x+1在区间[−3/2，2]上的最大值为3，求实数a的值．

题目

已知二次函数f（x）=ax²+（2a-1）x+1在区间[−

3

2

，2]

答案

因为二次函数f（x）在区间[−

3

2

，2]上的最大值为3，
所以必有f(−

2a−1

2a

)＝3，或f（2）=3，或f(−

3

2

)＝3．
（1）若f(−

2a−1

2a

)＝3，即1-

(2a−1)2

4a

=3，解得a＝−

1

2

，
此时抛物线开口向下，对称轴方程为x=-2，且−2∉[−

3

2

，2]，
故a=−

1

2

不合题意；
（2）若f（2）=3，即4a+2（2a-1）+1=3，解得a＝

1

2

，
此时抛物线开口向上，对称轴方程为x=0，闭区间的右端点距离对称轴较远，
故a＝

1

2

符合题意；
（3）若f(−

3

2

)＝3，即

9

4

a−

3

2

(2a−1)+1=3，解得a＝−

2

3

，
此时抛物线开口向下，对称轴方程为x=

7

4

，闭区间的左端点距离对称轴较远，故a＝−

2

3

符合题意．
综上，a＝

1

2

或a＝−

2

3

．