相似对角化与相似正交对角化(其他不变)得到的对角矩阵是否是同一个对角矩阵 (是否只与A本身特征值有关)

题目

相似对角化与相似正交对角化(其他不变)得到的对角矩阵是否是同一个对角矩阵 (是否只与A本身特征值有关)
A可对角化,即A可相似于某个对角矩阵.那么经对角化得到的对角矩阵是否是唯一的.
要是不是唯一的,那么是不是由于特征向量在构成可逆矩阵时的位置发生了变化,结果使对角阵上特征值的位置发生了改变,还是出现了特征值得线性组合.
若得到的不同对角阵也是是相似的,是不是两个对角阵只要特征值完全相同,不管位置是否相同,都相似.那么特征值对应成比例时,对角阵是否相似呢?有点多,呵呵...

答案

相似正交对角化的本质就是相似对角化,它只是把相似对角化的变换矩阵中包含的特征向量单位化及正交化了而已.
如果A能对角化其对角相似矩阵一定是其特征值在对角线上排布组成的矩阵.不同的只是顺序不同没有本质差别.
相似的一个重要充分条件就是两个矩阵特征值相同.
两个矩阵特征值对应成比例是不相似的.根据定义两边再取行列式显然不成立.