证明,对任意正整数n,方程x^n+x=1有且只有一正根Xn,且当n趋于无穷时Xn=1

题目

证明,对任意正整数n,方程x^n+x=1有且只有一正根Xn,且当n趋于无穷时Xn=1

答案

令f(x)=x^n+x-1.
f'(x)=n*(x)^(n-1)+1,
当n为奇数时,f'(x)>0,显然有f(x)为单调函数,又f(0)=-1,f(0)0.所以必然存在一正根xn,
当n为偶数时,f'(x)=n*(x)^(n-1)+1,有极小值f(xk),当xk=(-1/n)^(1/(n-1)),极小值左边单调递减,右边单调递增,的确,此时有当limx--> (正负)∞,f(x)>0.f(0)=-1,f(0)