猴子分桃问题

题目

猴子分桃问题
1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子,怎么也分不成5等分,只好先去睡觉,准备第二天分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉一个桃子,然后将其分为5等份,藏起自己的一份就去睡觉了；第二只猴子又爬起来,吃掉一个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少还剩多少个桃子?
我在百度知道搜了.他们问的都是编程.希望给出解题过程和最后答案.

答案

设这堆桃子至少有x个,借给它们4个,成为x+4个.5个猴子分别拿了a,b,c,d,e个桃子（其中包括吃掉的一个桃子）,则可得
a=(x+4)/5,b=4(x+4)/25,c=16(x+4)/125,d=64(x+4)/625,e=256(x+4)/3125
e应为整数,而256不能被5整除,所以（x+4)应该是3125的倍数,所以（x+4)=3125k(k为自然数）.当k =1时,x=3121
所以,5个猴子至少摘了3121个桃子
(3121-1)/5*4=2496(个) (2496-1)/5*4=1996(个) (1996-1)/5*4=1596(个)
(1596-1)/5*4=1276(个) (1276-1)/5*4=1020(个)
所以最后剩下1020个
成功!
加油!