如图①,直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.OA、OB的长度分别为a和b,且满足a2-2ab+b2=0. (1)判断△AOB的形状. (2)如图②,正比例函数y=kx(k

如图①,直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.OA、OB的长度分别为a和b,且满足a2-2ab+b2=0. (1)判断△AOB的形状. (2)如图②,正比例函数y=kx(k

题目
如图①,直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.OA、OB的长度分别为a和b,且满足a2-2ab+b2=0.

(1)判断△AOB的形状.
(2)如图②,正比例函数y=kx(k<0)的图象与直线AB交于点Q,过A、B两点分别作AM⊥OQ于M,BN⊥OQ于N,若AM=9,BN=4,求MN的长.
(3)如图③,E为AB上一动点,以AE为斜边作等腰直角△ADE,P为BE的中点,连接PD、PO,试问:线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明.
答案
(1)等腰直角三角形.
∵a2-2ab+b2=0,
∴(a-b)2=0,
∴a=b,
∵∠AOB=90°,
∴△AOB为等腰直角三角形;
(2)∵∠MOA+∠MAO=90°,∠MOA+∠MOB=90°,
∴∠MAO=∠MOB,
∵AM⊥OQ,BN⊥OQ,
∴∠AMO=∠BNO=90°,
在△MAO和△BON中,
∠MAO=∠MOB
∠AMO=∠BNO
OA=OB

∴△MAO≌△NOB,
∴OM=BN,AM=ON,OM=BN,
∴MN=ON-OM=AM-BN=5;
(3)PO=PD且PO⊥PD,
如图,延长DP到点C,使DP=PC,连接CP、OD、OC、BC,

在△DEP和△CBP,
DP=PC
∠DPE=∠CPB
PE=PB

∴△DEP≌△CBP,
∴CB=DE=DA,∠DEP=∠CBP=135°,
则∠CBO=∠CBP-∠ABO=135°-45°=90°,
又∵∠BAO=45°,∠DAE=45°,
∴∠DAO=90°,
在△OAD和△OBC,
DA=CB
∠DAO=∠CBO
OA=OB

∴△OAD≌△OBC,
∴OD=OC,∠AOD=∠COB,
∴△DOC为等腰直角三角形,
∴PO=PD,且PO⊥PD.
(1)已知a2-2ab+b2=0,化简可得a=b,然后可得△AOB为等腰直角三角形;
(2)证明△MAO≌△NOB,求出OM=BN;AM=ON;OM=BN;然后求出MN的值;
(3)本题要靠辅助线的帮助.证明与之有关的三角形全等之后方可解答.

一次函数综合题.

本题中点考查的是全等三角形的判定以及一次函数的相关知识,难度中等.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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