如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝2AD＝2，CD=3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点． （1）求证：MN∥平面PC

题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝

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AD＝2，CD=3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．

（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；
（3）求证：DN⊥平面PCB．

答案

证明：（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…（2分）因为CD∥AB，所以MN∥CD．又CD⊂平面PCD，而MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD．…（4分）（2）由（1）可得MN∥CD．因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD． ...

（1）利用三角形的中位线性质证明MN∥AB，再由已知条件和公理4证明MN∥CD，再利用直线和平面平行
的判定定理证得MN∥平面PCD．
（2）由（1）可得MN∥CD．先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD⊥平面PAD，从而证得CD⊥MD，从而
得到四边形MNCD是直角梯形．
（3）由条件求得∠PAD=60°，利用勾股定理求得DN⊥CN．在Rt△PDB中，由PD=DB=

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，N是PB的中点，
证得DN⊥PB，再根据直线和平面垂直的判定定理证得DN⊥平面PCB．

本题考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

考点点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及直线和平面垂直的判定定理和性质性质定理的应用，
属于中档题．