f(x) 的导数 f`(x)在［a,b］上连续,且f(b)=a,f(a)=b,证明：定积分∫[a,b]f(x) f`(x)dx=1／2(a^2-b^2)

题目

f(x) 的导数 f`(x)在［a,b］上连续,且f(b)=a,f(a)=b,证明：定积分∫[a,b]f(x) f`(x)dx=1／2(a^2-b^2)

答案

∫[a,b]f(x) f`(x)dx=
=(1/2)∫[a,b]df²(x)
=(1/2)f²(x)|(a,b)
=(1/2)(f²(b)-f²(a))
=(a²-b²)/2