已知{an}为单调递增的等比数列,且a2+a5=18,a3•a4=32,{bn}是首项为2,公差为d的等差数列,其前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)当且仅当2≤n≤4,n∈N*

已知{an}为单调递增的等比数列,且a2+a5=18,a3•a4=32,{bn}是首项为2,公差为d的等差数列,其前n项和为Sn. (1)求数列{an}的通项公式; (2)当且仅当2≤n≤4,n∈N*

题目
已知{an}为单调递增的等比数列,且a2+a5=18,a3•a4=32,{bn}是首项为2,公差为d的等差数列,其前n项和为Sn
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当且仅当2≤n≤4,n∈N*,Sn≥4+d•log2an2成立,求d的取值范围.
答案
(1)因为{an}为等比数列,所以a3•a4=a2•a5=32
所以
a2+a5=18
a2a5=32

所以a2,a5为方程 x2-18x+32=0的两根;
又因为{an}为递增的等比数列,所以 a2=2,a5=16,q3=8
从而q=2,
所以an=a2qn-2=2•2n-2=2n-1
(2)由题意可知:bn=2+(n-1)d,Sn=2n+
(n-1)•n
2
d

由已知可得:2n+
(n-1)•n
2
d≥4+(2n-2)d

所以d•n2+(4-5d)•n-8+4d≥0,
当且仅当2≤n≤4,且n∈N*时,上式成立,
设f(n)=d•n2+(4-5d)•n-8+4d,则d<0,
所以
f(1)<0
f(2)≥0
f(4)≥0
f(5)<0
d≤0
d<-3
⇒d<-3

所以d的取值范围为(-∞,-3).
(1){an}为单调递增的等比数列,说明q>1,又根据a3•a4=a2•a5=32,a2+a5=18,列出关于a2,a5的方程组,解出a2,a5,最后根据等比数列的性质,求出{an}
(2)由题意{bn}是首项为2,公差为d的等差数列,写出Sn的表达式,代入Sn≥4+d•log2
a
2
n
,整理得d•n2+(4-5d)•n-8+4d≥0,按照当且仅当2≤n≤4,n∈N*,列出不等式组,求出d的取值范围.

等比数列的性质.

本题考查等比数列的性质,等差数列的前n项和公式,整系数二次函数的性质,属于中档题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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