证明；函数在定义域上有界的充分必要条件是它在定义域上既有上界又有下界.

题目

证明；函数在定义域上有界的充分必要条件是它在定义域上既有上界又有下界.
高等函数证明题

答案

函数f(x)在数集X上有界
→ 存在正数M,对任意的x∈X,恒有|f(x)|≤M
→ -M≤f(x)≤M
→ 函数f(x)在X上既有上界M,又有下界-M；
函数f(x)在数集X上既有上界又有下界
→ 存在实数a≤b,对任意的x∈X,恒有a≤f(x)≤b,取M=MAX(|a|,|b|),
→ -M≤a≤f(x)≤b≤M,
→ |f(x)|≤M
→ 函数f(x)在X上有界.