一道排列不等式的证明题：已知a1≥a2≥a3,b1≥b2≥b3

题目

一道排列不等式的证明题：已知a1≥a2≥a3,b1≥b2≥b3
a1b1+a2b2+a3b3…………1式
a1b1+a2b3+a3b2…………2式
a1b2+a2b1+a3b3…………3式
a1b2+a2b3+a3b2…………4式
a1b3+a2b1+a3b2…………5式
a1b3+a2b2+a3b3…………6式
求证：1式大于2式大于3式大于4式大于等于5式大于6式
或
1式大于2式大于3式大于5式大于等于4式大于6式

答案

感觉你式子写乱了,我重写了一下.
a1b1+a2b2+a3b3 ①
a1b1+a2b3+a3b2 ②
a1b2+a2b1+a3b3 ③
a1b2+a2b3+a3b1 ④
a1b3+a2b1+a3b2 ⑤
a1b3+a2b2+a3b1 ⑥.
①-②得(a2-a3)(b2-b3) ≥ 0,即① ≥ ②.
①-③得(a1-a2)(b1-b2) ≥ 0,即① ≥ ③.
②-④得(a1-a3)(b1-b2) ≥ 0,即② ≥ ④.
②-⑤得(a1-a2)(b1-b3) ≥ 0,即② ≥ ⑤.
③-④得(a2-a3)(b1-b3) ≥ 0,即③ ≥ ④.
③-⑤得(a1-a3)(b2-b3) ≥ 0,即③ ≥ ⑤.
④-⑥得(a1-a2)(b2-b3) ≥ 0,即④ ≥ ⑥.
⑤-⑥得(a2-a3)(b1-b2) ≥ 0,即⑤ ≥ ⑥.
至此得到如下排序:
①
②③
④⑤
⑥
上排一定大于等于下排,同排的结果未知.
实际上,对a1 = 2,a2 = 1,a3 = 0,b1 = 1,b2 = b3 = 0,可验证② > ③,④ < ⑤.
对b1 = 2,b2 = 1,b3 = 0,a1 = 1,a2 = a3 = 0,可验证② > ③,④ > ⑤.
对a1 = a2 = 1,a3 = 0,b1 = 2,b2 = 1,b3 = 0,可验证② < ③,④ < ⑤.
对b1 = b2 = 1,b3 = 0,a1 = 2,a2 = 1,a3 = 0,可验证② < ③,④ > ⑤.
因此同排的大小关系不定,相互之间也没有关系.