P为△ABC所在平面外的一点,S△ABC=1,D,E,F,依次为△PAB,△PBC,△PCA的重心,△DEF的面积为?

题目

P为△ABC所在平面外的一点,S△ABC=1,D,E,F,依次为△PAB,△PBC,△PCA的重心,△DEF的面积为?

答案

证明：连结PD、PE、PF并延长交BC、AC、AB于
G、H、I,连结GI、GH、HI
∵D、F分别是△PBC、△PAB的重心
∴PD＝2/3x15 PG,PF＝2/3 x15PI
∴DF∥GI,∵DF不属于x15平面ABC,GI属于1平面ABC
∴DF∥平面ABC
同理 DE∥平面ABC
又DF∩DE＝D,DE、DF属于平面DEF
∴平面ABC∥平面DEF
∴DF//=1/3 AC
同理：DE//=1/3 AB,EF//=1/3 x15x15BC
∴△DEF′∽△ABC
∴S△DEF︰S△ABC＝1︰9
S△DEF=1/9