设不恒为常数的函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）=f（b）． 证明在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）＞0．

题目

设不恒为常数的函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且f（a）=f（b）．
证明在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f′（ξ）＞0．

答案

证明：
∵在[a，b]连续的f（x）不恒为常数，且f（a）=f（b），
∴至少存在点c∈（a，b），使得：f（c）≠f（a）=f（b），
由题意知：f（x）在[a，c]和[c，b]满足拉格朗日中值定理，
∴存在点ξ₁∈（a，c）、ξ₂∈（c，b），使得：

f(c)−f(a)

c−a

＝f′(ξ1)，

f(b)−f(c)

b−c

＝f′(ξ2)，
又 f（c）-f（a）和f（b）-f（c）中必有一个大于0，
∴f′（ξ₁）、f'（ξ₂）中必有一个大于0，
即：在（a，b）内至少存在一点ξ，使得：f′（ξ）＞0，证毕．

由题目的条件“f（x）不恒为常数”表明至少有一点c∈（a，b）使得f（c）≠f（a）=f（b），然后在（a，c）和（c，b）上分别使用拉格朗日中值定理，得到两个导数值，很容易看出这两个导数值必有一个大于0，这样就证明了问题．

本题考点：拉格朗日中值定理及推论的应用；罗尔中值定理．

考点点评：此题是满足罗尔定理的，根据图形显而易见，题目的结论是成立，但是为了证明题目的结论，最好是用拉格朗日中值定理．