利用根与系数的关系,求一个一元一次方程,使它的根分别是方程x^2+px+q=0的各根的①相反数 ②倒数 ③平方

题目

利用根与系数的关系,求一个一元一次方程,使它的根分别是方程x^2+px+q=0的各根的①相反数 ②倒数 ③平方

答案

解
设(x*x)+px+q=0的根为a,b
(1)新方程两根为-a,-b
则新方程为x^2-(-a-b)x+(-a)(-b)=0
x^2+(a+b)x+ab=0
又因为a+b=-p,ab=q
所以所求方程为:x^2-px+q=0
其实这里有一个规律,如果两个一元二次方程一次项系数互为相反数,其他都一样,那么这两个方程的根互为相反数
(2)
新方程两根为1/a,1/b
则新方程为x^2-(1/a+1/b)x+1/a*1/b=0
x^2-[(a+b)/ab]x+1/(ab)=0
又因为a+b=-p,ab=q
所以所求方程为:
x^2+p/q*x+1/q=0
(3)新方程两根为a^2,b^2
则新方程为x^2-(a^2+b^2)x+a^2b^2=0
x^2-[(a+b)^2-2ab]+(ab)^2=0
所求为x^2-(p^-2q)x+q^2=0