求直线L1:(x-1)/1=(y+1)/2=z/3在平面π,x+y+2z-5=0上投影直线L的方程

题目

求直线L1:(x-1)/1=(y+1)/2=z/3在平面π,x+y+2z-5=0上投影直线L的方程

答案

要求直线L1在平面π上的投影,则只需知道构成直线L1的点的集合,在平面π上的投影点的集合.
由直线L1方程,易知直线L1上的点构成的集合为：.
由平面的集合意义,可知平面π上的点,是与向量(1,1,2)内积为5的点构成的集合,所以平面π的法向量为(1,1,2).
从而点(t+1+x,2t-1+x,3t+2x)与点(t+1,2t-1,3t)的连线垂直于平面π（因为平行于π的法向量）.
 
设点(t+1+x,2t-1+x,3t+2x)在平面π上,即L1在平面π上的投影组成的集合为,则(t+1+x)+(2t-1+x)+2(3t+2x)-5=0,解得
 
所以L1投影点的集合为
还原为方程表示,得到即为所求投影直线L的方程