讨论关于x的方程x=log^(-x²+2x+a)(a>0,且a≠1）的解的个数

题目

讨论关于x的方程x=log^(-x²+2x+a)(a>0,且a≠1）的解的个数
要过程,

答案

原方程等价于方程
a^x= -x²+2x+a
即 a^x= -(x-1)²+a+1
题意等价于判断函数 y=a^x 与函数 y= -(x-1)²+a+1 (y＞0)的图像的交点的个数,
其中, y= -(x-1)²+a+1为开口向下、对称轴为 x=1 顶点为 (1,a+1) 的抛物线,
① 当0＜a＜1时, 曲线y=a^x 过点（0,1）,且单调减,当x=1时,y=a＜a+1,2个交点；
② 当a＞1时, 曲线y=a^x 过点（0,1）,且单调增,当x=1时,y=a＜a+1,2个交点.
所以,当a>0,且a≠1时,函数 y=a^x 与函数 y= -(x-1)²+a+1 的图像总有2个交点,
即关于x的方程x=log^(-x²+2x+a)(a>0,且a≠1）的解的个数总是2个.