已知实数AN是等比数列,A7=1,A4,A5+1,A6等差数列

题目

已知实数AN是等比数列,A7=1,A4,A5+1,A6等差数列

求AN通项公式

证明SN＜128

答案

(1)设公比为q
∵a7=1
∴a4=1/q³,a5=1/q²,a6=1/q
∵a4,a5+1,a6成等差数列
∴a4+a6=2(a5+1)
即1/q³+1/q=2(1/q²+1)
两边同乘以q³得
1+q²=2q³(1/q²+1)=2q(1+q²)
∵1+q²≠0
∴1=2q
q=1/2
a1=a7/q^6=1/(1/2^6)=2^6
所以an=a1*q^(n-1)=2^6*(1/2)^(n-1)=2^(7-n)
(2)
Sn=a1*(1-qⁿ)/(1-q)
=2^6*(1-1/2^n)/(1-1/2)
=128(1-1/2^n)
∵1-1/2^n