对任意的x＞0，函数y=2x/x2+3x+1的最大值是_．

题目

对任意的x＞0，函数y=

2x

x2+3x+1

的最大值是______．

答案

y=

2x

x2+3x+1

=

2

x+ 1 x +3

，
令t=x+

1

x

+3，（x＞0），则y=

2

t

，
则t≥2

x• 1 x

+3=5，即t有最小值5，
对于y=

2

t

，
由t≥5，可得y≤

2

5

，即y的最大值为

2

5

，
故答案为

2

5

．

根据题意，原函数的解析式可变形为y=

2

x+ 1 x +3

，令t=x+

1

x

+3，（x＞0），则y=

2

t

，对于t=x+

1

x

+3，（x＞0），由基本不等式分析可得其最小值，进而由反比例函数的性质分析可得y=

2

t

的最大值，即可得答案．

本题考点：基本不等式．

考点点评：本题考查基本不等式的运用，在解题中，可以用配凑法使其满足基本不等式成立的条件．