Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,DE、DF分别交AC于E,交BC于F,且DE⊥DF．如果CA=CB,求证

题目

Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,DE、DF分别交AC于E,交BC于F,且DE⊥DF．如果CA=CB,求证
已知：如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,DE、DF分别交AC于E,交BC于F,且DE⊥DF．
（1）如果CA=CB,求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2,如果CA＜CB,（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗?若成立,请证明；若不成立,请说明理由．

答案

（1）证明：延长FD取点G,使DG＝DF
∵D为AB的中点
∴AD＝BD
∵DE＝DF,∠ADG＝∠BDF
∴△ADG全等于△BDF （SAS）
∴AG＝BF,∠GAD＝∠B
∵∠ACB＝90
∴∠CAB+∠B＝90
∴∠CAB+∠GAD＝90
∴∠CAG＝90
∴AE²+AG²=EG²
∴AE²+BF²=EG²
∵DE⊥DF,DF＝DG
∴DE垂直平分FG
∴EF＝EG
∴AE²+BF²=EF²
（2）成立,证法同（1）.