过抛物线y2=4x焦点F的直线L与它交于A,B两点,若|AB|=8,求三角形AOB面积

题目

过抛物线y2=4x焦点F的直线L与它交于A,B两点,若|AB|=8,求三角形AOB面积
符号不要复杂

答案

AB垂直x轴
那么OF=1
所以S三角形AOB=1/2×1×8=4
当AB和x轴不垂直的时候
设AB：y=k(x-1)
代入y²=4x
整理：k²x²-2(k²+2)x+k²=0
韦达定理
x1+x2=2(k²+2)/k²
x1*x2=1
代入两点距离公式
AB=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]
代入,化简
3k^4-2k²-1=0
(3k²+1)(k²-1)=0
k²=1或k²=-1/3（舍去）
k=1或-1
S三角形AOB=1/2×AB×/y1-y2/
/y1-y2/=/k(x1-x2)/
(y1-y2)²=k²(x1-x2)²
k²=1
所以(y1-y2)²=(x1+x2)²-4x1x2=36-4=32
/y1-y2/=4√2
所以S=1/2×8×4√2=16√2