已知如图,△ABC是等边三角形,P是三角形外的一点,且∠ABP+∠ACP=180°. 求证:AP平分∠BPC.

已知如图,△ABC是等边三角形,P是三角形外的一点,且∠ABP+∠ACP=180°. 求证:AP平分∠BPC.

题目
已知如图,△ABC是等边三角形,P是三角形外的一点,且∠ABP+∠ACP=180°.
求证:AP平分∠BPC.
答案
证明:过点A作AM⊥BP,AN⊥PN,交PC的延长线于点N,
可得出∠AMB=∠ANC=90°,
∵∠ACN+∠ACP=180°,且∠ABM+∠ACP=180°,
∴∠ACN=∠ABM,
又△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,
在△ABM和△ACN中,
∠AMB=∠ANC
∠ABM=∠ACN
AB=AC

∴△ABM≌△ACN(AAS),
∴AM=AN,又AM⊥BP,AN⊥PN,
∴PA平分∠BPC.
过点A作AM⊥BP,AN⊥PN,交PC的延长线于点N,利用垂直的定义得到一对直角相等,由邻补角定义得到∠ACN+∠ACP=180°,又∠ABM+∠ACP=180°,可得出一对角相等,再由三角形ABC为等边三角形,得到AB=AC,利用AAS可得出△ABM≌△ACN,利用全等三角形的对应边相等得到AM=AN,由在角内部,到角两边距离相等的点一定在角的平分线上,可得出PA为∠BPC的平分线.

等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.

此题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质,以及角平分线的逆定理,作出两条垂线,构造全等直角三角形是解本题的关键.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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