"AB为抛物线y=x^2上的动弦,且|AB|=a(a为常数且a>=1),则弦AB的中点M离x轴的最近距离"

题目

"AB为抛物线y=x^2上的动弦,且|AB|=a(a为常数且a>=1),则弦AB的中点M离x轴的最近距离"

答案

设直线AB:y=kx+b,y>0,k≠0的实数
y=x^2=kx+b>0
x^2-kx-b=0
xA+xB=k
xM=0.5(xA+xB)=0.5k
yM=k*xM+b=0.5k^2+b>0
b=yM-0.5k^2
4b=4yM-2k^2
xA*xB=-b
(xA-xB)^2=(xA+xB)^2-4xA*xB=k^2+4b=k^2+4yM-2k^2=4yM-k^2
(yA-yB)^2=k^2*(xA-xB)^2
a^2=AB^2=(xA-xB)^2+(yA-yB)^2=(1+k^2)*(xA-xB)^2=(1+k^2)*(4yM-k^2)≥1
a^2=(1+k^2)*(4yM-k^2)
k^4+(1-4yM)k^2+a^2-4yM=0
未知数为k^2的上方程有实数解,则它的判别式△≥0,即
(1-4yM)^2-4(a^2-4yM)≥0
(1+4yM)^2≥(2a)^2
yM>0,a≥1
1+4yM≥2a≥2
弦AB的中点M离x轴的最近距离=yM,yM≥1/4
答:弦AB的中点M离x轴的最近距离=1/4