如图所示,平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于A(3,0),B(0,根号3)两点,点C为线

题目

如图所示,平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于A(3,0),B(0,根号3)两点,点C为线
如图所示,平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于A(3,0),B(0,根号3 )两点,点C为线段AB上的一个动点,过点C作CD⊥x轴于点D.
（1）在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．

答案

△OBA是直角三角形,所以△POB也必须是直角三角形
若∠BOP我直角,则P在x轴上,与题目中P在第一象限矛盾,所以可以有两种情况,
即∠PBO=90°,和∠BPO=90°
①若∠PBO=90°,设P（x,√3）,所以√3/x=3/√3或√3/x=√3/3,所以x=1或3,
所以P(1,√3)或（√3,√3）
②若∠PBO=90°,则因为相似,对应角必须相等,所以OP⊥AB于P,即点P在直线AB上,所以
BP/√3=√3/AB,因为AB=2√3,所以BP=√3/2,可求得P(3/4,3√3/4)