设A为n阶的对称矩阵,且|A|=1,则A为正交矩阵的充分必要条件是它的每个元等于自己的代数余子式aij=Aij

题目

设A为n阶的对称矩阵,且|A|=1,则A为正交矩阵的充分必要条件是它的每个元等于自己的代数余子式aij=Aij

答案

充分性:
由已知, A* = A^T
所以 AA^T=AA*=|A|E = E
所以A为正交矩阵
必要性:
因为A是正交矩阵
所以 AA^T=E
而 AA*=|A|E=E
所以 AA^T=AA*
由A可逆, 得 A^T=A*
所以 aij=Aij.
注: 似乎用不上A的对称性