已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中,AB∥OC,AB=10,OC=22,BC=15,动点M从A点出发,以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动,同时动点N从C点出发,以每秒2个单位长度的

已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中,AB∥OC,AB=10,OC=22,BC=15,动点M从A点出发,以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动,同时动点N从C点出发,以每秒2个单位长度的

题目
已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中,AB∥OC,AB=10,OC=22,BC=15,动点M从A点出发,以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动,同时动点N从C点出发,以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动.当其中一个动点运作业帮动到终点时,两个动点都停止运动.
(1)求B点坐标;
(2)设运动时间为t秒;
①当t为何值时,四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半;
②当t为何值时,四边形OAMN的面积最小,并求出最小面积;
③若另有一动点P,在点M、N运动的同时,也从点A出发沿AO运动.在②的条件下,PM+PN的长度也刚好最小,求动点P的速度.
答案
作业帮 (1)作BD⊥OC于D,
则四边形OABD是矩形,
∴OD=AB=10,
∴CD=OC-OD=12,
∴OA=BD=
BC2-CD2
=9,
∴B(10,9);
(2)①由题意知:AM=t,ON=OC-CN=22-2t,
∵四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半,
1
2
(t+22-2t)×9=
1
2
×
1
2
(10+22)×9

∴t=6,
②设四边形OAMN的面积为S,则s=
1
2
(t+22-2t)×9=-
9
2
t+99

∵0<t≤10,且s随t的增大而减小,
∴当t=10时,s最小,最小面积为54.
③如备用图,取N点关于y轴的对称点N′,连接MN′交AO于点P,
作业帮此时PM+PN=PM+PN′=MN′长度最小.
当t=10时,AM=t=10=AB,ON=22-2t=2,
∴M(10,9),N(2,0),
∴N′(-2,0);
设直线MN′的函数关系式为y=kx+b,则
10k+b=9
-2k+b=0

解得
k=
3
4
b=
3
2

∴P(0,
3
2
),
∴AP=OA-OP=
15
2

∴动点P的速度为
15
2
÷10=
3
4
个单位长度/秒.
(1)由题意可以先构造矩形OABD,然后根据勾股定理进行求解;
(2)是动点型的题要设好未知量:
①AM=t,ON=OC-CN=22-2t,根据四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半,列出等式求出t值;
②设四边形OAMN的面积为S,用t表示出四边形OAMN的面积,根据一次函数的性质求出最值;
③由题意取N点关于y轴的对称点N′,连接MN′交AO于点P,此时PM+PN=PM+PN′=MN长度最小,表示出点M,N,N′的坐标,设直线MN′的函数关系式为y=kx+b,最后待定系数法进行求解.

一次函数综合题;勾股定理;轴对称-最短路线问题.

此题是一道综合题,难度比较大,考查了勾股定理的应用和待定系数法求函数的解析式,动点型的题是中考的热点,平时要多加练习,注意熟悉这方面的题型.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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