数列{an}的前n项和记为Sn,已知an=5Sn-3(n∈N)求limn→∞(a1+a3+…+a2n-1)的值.
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数列{an}的前n项和记为Sn,已知an=5Sn-3(n∈N)求limn→∞(a1+a3+…+a2n-1)的值.
题目
数列{a
n
}的前n项和记为S
n
,已知a
n
=5S
n
-3(n∈N)求
lim
n→∞
答案
由S
n
=a
1
+a
2
++a
n
知
a
n
=S
n
-S
n-1
(n≥2),
a
1
=S
1
,
由已知a
n
=5S
n
-3得
a
n-1
=5S
n-1
-3.
于是a
n
-a
n-1
=5(S
n
-S
n-1
)
=5a
n
,
所以a
n
=-
1
4
a
n-1
.
由a
1
=5S
1
-3,
得a
1
=
3
4
.
所以,数列{a
n
}是首项a
1
=
3
4
,公比q=-
1
4
的等比数列.
由此知数列a
1
,a
3
,a
5
,,a
2n-1
,
是首项为a
1
=
3
4
,公比为
(−
1
4
)
2
的等比数列.
∴
lim
n→∞
(a
1
+a
3
+a
5
++a
2n-1
)=
3
4
1−
(−
1
4
)
2
=
4
5
.
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