如图,点M是正方形ABCD的边BC上一点,点N是∠DAM的平分线与CD的交点,试说明:AM=DN+BM.

如图,点M是正方形ABCD的边BC上一点,点N是∠DAM的平分线与CD的交点,试说明:AM=DN+BM.

题目
如图,点M是正方形ABCD的边BC上一点,点N是∠DAM的平分线与CD的交点,试说明:AM=DN+BM.
答案
证明:延长CB至E,使得BE=DN,
∵AB∥CD,则∠BAN=∠1,
在△ADN和△ABE中,
AD=AB
∠ADN=∠ABE
DN=BE

∴△ADN≌△ABE,
∴∠2=∠5,
∵∠MAE=∠3+∠2,∠BAN=∠3+∠4,∠4=∠5,∠1=∠E,
∴∠MAE=∠BAN,
∴∠DNA=∠MAE=∠E
即AM=ME,
∵ME=EB+BM
∴AM=EB+BM=DN+BM.
求证△ADN≌△ABE,得∠BAE=∠DAN,根据∠BAE=∠DAN,求证∠MAE=∠E,得AM=ME,根据ME=BM+BE,且BE=DN可以证明AM=DN+BM.

正方形的性质;角平分线的性质;勾股定理.

本题考查了正方形各边相等,各内角为直角的性质,考查了等腰三角形底角相等的性质,考查了角平分线的性质,本题中求证AM=ME是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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