已知如图，在△ABC中，AB=2AC，AD是∠BAC的角平分线，且AD=BD．求证：∠ADB=2∠ADC．

题目

已知如图，在△ABC中，AB=2AC，AD是∠BAC的角平分线，且AD=BD．求证：∠ADB=2∠ADC．

答案

过D作DE⊥AB于E，
∵AD=BD，
∴AE=BE=

1

2

AB，∠ADE=∠BDE，
又∵AB=2AC，
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ADC和△ADE中，

AD＝AD ∠CAD＝∠EAD AC＝AE

，
∴△ADC≌△ADE（SAS），
∴∠ADC=∠ADE=∠BDE，
∴∠ADB=∠ADE+∠BDE=2∠ADC．

过D作DE⊥AB于E，由AD=BD，利用三线合一得到DE为角平分线，E为AB中点，得到AB=2AE，由已知AB=2AC，得到AE=AC，由AD为角平分线得到一对角相等，再由AD=AD，利用SAS得到三角形ACD与三角形AED全等，利用全等三角形对应角相等得到∠ADC=∠ADE，等量代换即可得证．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．