如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF． （1）证明：EF=CF； （2）当tan∠ADE=1/3时，求EF的长

题目

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF．

（1）证明：EF=CF；
（2）当tan∠ADE=

1

3

时，求EF的长．

答案

（1）证明：过D作DG⊥BC于G．
由已知可得四边形ABGD为正方形，
∵DE⊥DC．
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，
∴△ADE≌△GDC，
∴DE=DC且AE=GC．
在△EDF和△CDF中

DE＝DC ∠EDF＝∠CDF DF＝DF

，
∴△EDF≌△CDF，
∴EF=CF；
（2）∵tan∠ADE=

AE

AD

=

1

3

，
∴AE=GC=2．
∴BC=8，
BE=4，设CF=x，则BF=8-CF=8-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x²=（8-x）²+4²，
解得x=5，
即EF=5．

（1）过D作DG⊥BC于G，由已知可得四边形ABGD为正方形，然后利用正方形的性质和已知条件证明△ADE≌△GDC，接着利用全等三角形的性质证明△EDF≌△CDF，
（2）由tan∠ADE=

1

3

根据已知条件可以求出AE=GC=2．设EF=x，则BF=8-CF=8-x，BE=4．在Rt△BEF中根据勾股定理即可求出x，也就求出了EF．

本题考点：解直角三角形；全等三角形的判定；勾股定理；直角梯形．

考点点评：本题考查梯形、正方形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．