若直线x+（根号3）y=m与圆x²+y²=1的连个焦点都在第一象限,则实数m的取值范围是?

题目

若直线x+（根号3）y=m与圆x²+y²=1的连个焦点都在第一象限,则实数m的取值范围是?
打错了。改：若直线x+（根号3）y=m与圆x²+y²=1的两个交点都在第一象限，则实数m的取值范围是？

答案

若直线x+(√3)y=m与圆x²+y²=1的两个交点都在第一象限,则实数m的取值范围是?
将x=m-(√3)y代入圆的方程得[m-(√3)y]²+y²-1=4y²-2(√3)my+m²-1=0
设A(x₁,y₁)；B(x₂,y₂)；则y₁+y₂=(√3/2)m；y₁y₂=(m²-1)/4；
x₁+x₂=[m-(√3)y₁]+[m-(√3)y₂]=2m-(√3)(y₁+y₂)=2m-(√3)(√3)/2)=2m-3/2；
x₁x₂=[m-(√3)y₁][m-(√3)y₂]=m²-(√3)m(y₁+y₂)+3y₁y₂=m²-(3/2)m²+(3/4)(m²-1)=(1/4)m²-3/4；
由于A,B都在第一象限,故x₁,y₁,x₂,y₂都是正数,于是有：
y₁+y₂=(√3/2)m>0.①
y₁y₂=(m²-1)/4>0.②
x₁+x₂=2m-3/2>0.③
x₁x₂=(1/4)m²-3/4>0.④
由①得m>0；由②得m>1或m3/4；由④得m>√3或m√3},这就是m的取值范围.